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Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 13934 (2023) Citer cet article

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Nous étudions les phases topologiques photoniques dans les métamatériaux chiraux caractérisés par les tenseurs magnétoélectriques avec des composantes de chiralité diagonale. Le milieu sous-jacent est considéré comme un analogue photonique du semi-métal topologique caractérisé par un cône de Weyl et une surface cylindrique dans l'espace vectoriel des ondes de fréquence. Une fois la condition de dégénérescence du « spin » satisfaite, le système photonique peut être réorganisé en deux modes hybrides complètement découplés. En introduisant les états de pseudospin comme base des modes hybrides, le système photonique est décrit par deux sous-systèmes sous la forme d'hamiltoniens spin-orbite de spin 1, qui aboutissent à des nombres de Chern de spin non nuls qui déterminent les propriétés topologiques. Les modes de surface à l'interface entre le vide et le métamatériau chiral existent dans leur espace commun dans l'espace vectoriel d'onde, qui sont formulés analytiquement par des équations algébriques. En particulier, les modes de surface forment une paire de feuilles de surface en spirale s'enroulant autour du cône de Weyl, ressemblant aux états de surface hélicoïdaux qui se produisent dans les semi-métaux topologiques. À la fréquence de Weyl, les modes de surface contiennent deux états en forme d'arc de Fermi qui se concatènent pour donner un segment de ligne droite.

Les phases topologiques sont de nouvelles phases de la matière caractérisées par des quantités entières appelées invariants topologiques, qui restent constantes sous des déformations continues arbitraires du système. L’état Quantum Hall (QH)1 est le tout premier exemple de phase topologique bidimensionnelle (2D), appartenant à la classe avec une symétrie d’inversion temporelle (TR) brisée en raison de la présence d’un champ magnétique statique. L'état Quantum Spin Hall (QSH) 2,3,4 est une phase topologique 2D différente sans champ magnétique et préserve la symétrie TR, où le couplage spin-orbite est responsable des caractères topologiques. Les propriétés topologiques des états QH sont caractérisées par des invariants TKNN ou des nombres de Chern5, tandis que celles des états QSH sont caractérisées par des invariants \(Z_2\)2 ou des nombres de Chern de spin6. Les concepts théoriques développés dans les états QSH sont généralisés à trois dimensions (3D), conduisant à la classe plus générale des isolants topologiques 3D7,8.

Une caractéristique remarquable de l’état QSH est l’émergence d’états de bord sans interruption à l’intérieur de la bande interdite globale. La direction de propagation des états de bord est verrouillée par le spin9, ce qui permet des états de bord topologiquement protégés qui se propagent de manière unidirectionnelle sans rétrodiffusion10. Comme les états limites sont protégés par la topologie globale, ils sont insensibles aux petites perturbations qui ne modifient pas la topologie. Semblable au cas des phases topologiques 2D, des états de surface sans intervalle apparaissent à l'intérieur de la bande interdite entre deux bandes topologiquement distinctes dans des isolants topologiques 3D11,12, qui peuvent être réalisés à la fois dans des systèmes TR brisés13,14 et TR invariants15,16,17. Contrairement aux isolants topologiques 3D qui sont des phases topologiques à espacement, les phases topologiques 3D sans espace sont un nouveau type de phases connues sous le nom de semi-métaux topologiques18,19,20,21,22.

La majorité des semi-métaux topologiques sont caractérisés par des dégénérescences de Weyl, qui sont des dégénérescences entre bandes topologiquement inéquivalentes. La principale signature des phases topologiques 3D sans interruption est l'apparition de points de Weyl existant dans les systèmes dépourvus de symétrie TR, de symétrie d'inversion ou des deux. Les points de Weyl sont compris comme les monopôles de courbure de Berry dans l'espace de quantité de mouvement qui portent des charges topologiques quantifiées, égales aux invariants topologiques du système. Une perspective utile sur les semi-métaux de Weyl est de les considérer comme un état de transition entre un isolant topologique et un isolant trivial22. Une caractéristique importante des points de Weyl est l'existence d'arcs de Fermi qui relient les points de Weyl, correspondant aux états de surface topologiquement protégés et robustes au désordre. En particulier, les états de surface peuvent former une feuille de surface en spirale qui relie les cônes de masse supérieur et inférieur, qui sont protégés contre les écarts par des symétries non symmorphiques et appelés états de surface hélicoïdaux23.

0\)) and the chiral medium (\(y<0\)) characterized by \(\varepsilon _n=\varepsilon \), \(\mu _n=\mu \), and \(\gamma _n=\gamma \) (\(n=t,z\)), where the surface modes may exist. According to Maxwell’s boundary conditions: the continuity of tangential electric and magnetic field components at the interface, the characteristic equation of surface modes can be analytically formulated by using the eigenfields of bulk modes on two sides of the interface, given by (see Methods C)/p>0\)./p>0\) so that the bulk modes are described by two elliptic equations [cf. Eq. (5)]. This condition is crucial to form the photonic Weyl system in the chiral metamaterial, which will be discussed later (cf. Results: Photonic Weyl system.). As a result, the bulk modes are represented by two concentric ellipsoids in the wave vector space. Note that the bulk modes for opposite sign of the chirality parameter are identical because of the symmetry about \(\gamma \) [cf. Eq. (5)]. Here, the material parameters are arranged such that \(n_t^+n_z^+>1\), \(\left( n_t^+\right) ^2>1\) and \(n_t^-n_z^-<1\), \(\left( n_t^-\right) ^2<1\). The bulk modes are therefore either completely inside or completely outside the vacuum dispersion spheroid: \(k_x^2+k_y^2+k_z^2=k_0^2\), as shown in Fig. 1(b) for the bulk modes on the half space (\(k_y>0\)). Note also that the bulk modes in Fig. 1a, b are represented by the same ellipsoids, although \(n_s^->0\) (\(s=t,z\)) for the former and \(n_s^-<0\) for the latter. The wave propagations in the two cases, however, are different in the issue of negative refraction and backward wave64,65. In the isotropic case, the inner bulk mode at the critical condition: \(|\gamma |=\sqrt{\varepsilon \mu }\) (cf. Results: Bulk modes.) is reduced to a point at the origin./p>0\)) and the chiral metamaterial (\(y<0\)) in the \(k_x\)–\(k_z\) plane based on Eq. (17). The bulk modes at \(k_y=0\) are overlaid in the same plots. For clarity, we discuss the surface modes in the isotropic case, where \(\varepsilon _n=\varepsilon \) and \(\mu _n=\mu \) (\(n=t,z\)), and the analytical formulation for the surface modes are available. In particular, the surface modes are represented by a pair of curve segments symmetric about the center, which are located in the second and fourth quadrants for \(\gamma <\sqrt{\varepsilon \mu }\) [cf. Fig. 2a], and the first and third quadrants for \(\gamma >\sqrt{\varepsilon \mu }\) [cf. Fig. 2b]. Note that the surface modes and bulk modes ’merge’ at the points: \(\left( k_x,{k_z}\right) =\left( \pm |\sqrt{\varepsilon \mu }-\gamma | k_0,0 \right) \) for the chiral metamaterial and \(\left( 0,\pm k_0\right) \) for vacuum./p>0\) and \(n_-<0\) (cf. Results: Bulk modes.), and the bulk modes for either \(\omega >\omega _1\) or \(\omega <\omega _1\) are represented by similar elliptic curves. The former and the latter touch at a degenerate point, forming the conic surface for the inner bulk mode with \(n_-\), while the outer bulk mode with \(n_+\) (always positive) is a cylindrical surface. In this situation, the dispersion branch of the inner bulk modes resembles the linear crossing of valence and conduction bands in the Weyl semimetal71, with the crossing point known as the Weyl point and the associated frequency \(\omega _1\) as the Weyl frequency. The topological charge associated with the Weyl point is consistent with the nonzero topological invariants of the system (cf. Results: Topological invariants.). Note that the inner bulk mode is reduced to a single point at the Weyl frequency. In this regard, the underling medium is considered a photonic analogue of the type-I Weyl semimetal22./p>0\)), we have/p>0)\), \(k_y^{(0)}\) should be purely imaginary with a positive value, so that the waves decay exponentially away from the interface. On the chiral medium side (\(y<0\)), \(k_y^{(1)}\) and \(k_y^{(2)}\) should be purely imaginary with a negative value for a similar reason./p>

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